Question

10．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2+2sinx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（1-sinx，2cosx），设f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的最值；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知f（B）=2，b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积运算、二倍角的余弦公式变形、两角和的正弦公式化简解析式，由x的范围求出2x+$\frac{π}{6}$的范围，由正弦函数的最值求出f（x）的最大值、最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简f（B）=2，由B的范围和特殊角的三角函数值求出B，由条件和正弦定理求出a、c的关系，由余弦定理列出方程求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，$f（x）=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2（1-{sin}^{2}x）+2\sqrt{3}sinxcosx$，…（2分）$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x=2×\frac{1+cos2x}{2}+\sqrt{3}sin2x=\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$
=$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$…（4分）
当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，
所以当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$时，f（x）的最大值为3；
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$，即$x=\frac{π}{2}$时，f（x）的最小值为当-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），$f（B）=2sin（2B+\frac{π}{6}）+1=2$，
则$sin（2B+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，…（6分）
由B∈（0，π）得，$2B+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$，
所以$2B+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，解得$B=\frac{π}{3}$，…（8分）
∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，
又b=3，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB
即9=b²=a²+4a²-2a×2a×$\frac{1}{2}$…（10分），
解得$a=\sqrt{3}，c=2\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查正弦函数的最值，向量的数量积运算，二倍角的余弦公式变形、两角和的正弦公式，以及正弦定理、余弦定理的应用，考查化简、变形能力．