Question

8．数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1，则使不等式${a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2＜5×{2^{n+1}}$成立的n的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据已知条件a_n=2^n-1推知a_n²=4^n-1，所以a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），由此得到2ⁿ（2ⁿ-30）＜1，从而解得n的最大值为4．

解答 解：∵a_n=2^n-1，
∴a_n²=4^n-1，
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），
∵a₁²+a₂²+…+a_n²＜5×2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）＜5×2ⁿ+1，
∴2ⁿ（2ⁿ-30）＜1，
解得n的最大值为4．
故选：C．

点评 本题考查等比数列的通项公式，实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．