Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求直线BP与平面PAC所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接BD交AC于O，连接EO，证明EO∥PB，利用线面平行的判定定理即可得结论；
（2）确定BA⊥平面PAC，可得直线BP与平面PAC所成的角为∠BPA，即可得出结论．

解答： （1）证明：连接BD交AC于O，连接EO．
在△DPB中，E是PD的中点，
又O是BD的中点，∴EO∥PB．…
又EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC …（6分）
（2）解：由PA⊥平面ABCD，BA?平面ABCD，
∴PA⊥BA，
又BA⊥AC，AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，
∴BA⊥平面PAC…（9分）
∴直线BP与平面PAC所成的角为∠BPA…（11分）
在Rt△ABP中，由PA=AB，可知∠BPA=45°
故直线BP与平面PAC所成的角为45°…（12分）

点评：本题考查直线与平面所成的角与直线与平面平行的判定，关键在于熟练掌握直线与平面平行的判定定理及其应用，属于中档题．