Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=4x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=kx-1有三个公共点，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得f′（1）=3+2a+b=4，f（1）=2+a+b=3，联立方程组解得ab可得；
（Ⅱ）问题转化为g（x）=x²+

2

x

+1与y=k的交点问题，导数法判g（x）的单调性，数形结合可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，∴f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意可得f′（1）=3+2a+b=4，f（1）=2+a+b=3，
联立解得a=0，b=1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x³+x+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x³+x+1，联立y=kx-1可得x³+（1-k）x+2=0，
易得x=0不是方程的解，故k=x²+

2

x

+1，
设g（x）=x²+

2

x

+1，则g′（x）=2x-

2

x2

=

2(x3-1)

x2

，
令g′（x）=0可得x=1，
可得当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增；
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（-∞，0）上单调递减；
∴g（x）的大致图象如图所示，g（1）=4是函数的极小值，
结合图象可知当k＞4时，直线y=k和函数g（x）恰有三个公共点，
即函数y=f（x）的图象与直线y=kx-1有三个公共点．

点评：本题考查函数解析式的求解和导数法判函数的单调性，数形结合是解决问题的关键，属中档题．