Question

函数y=2x-

4x-x2

值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：将函数进行三角换元，利用三角函数求最值即可．

解答： 解：∵y=2x-

4x-x2

=2x-

-(x-2)2+4

，由4x-x²≥0，得0≤x≤4，∴-2≤x-2≤2
令u=

-(x-2)2+4

，则u∈[0，2]，且u²+（x-2）²=4，令x-2=2cosθ，u=2sinθ，θ∈[0，π]
∴原函数可以化为y=4cosθ+4-2sinθ=2

5

（cosθ

2

5

+sinθ

1

5

）+4=2

5

cos（θ+∅）+4（θ∈[0，π]
其中sin∅=

1

5

，cos∅=

2

5

），当θ=0时y取最大值，∴y_最大值=2

5

×

2

5

+4=8，当θ+∅=π时，
y取最小值，y_最小值=2

5

（-1）+4=4-2

5

，∴y∈[4-2

5

，8]
故答案为：[4-2

5

，8]

点评：本题考查函数值域，属于基础题．