题目内容
已知
=（sinωx+cosωx，2sinωx），
=（cosωx-sinωx，
cosωx），（ω＞0），若f（x）=
且
，f（x）在（0，
）内有最大值无最小值．（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=1，其面积
，求△ABC周长的最小值．
【答案】分析：（1）化简f（x）=
的解析式为2sin（2ωx+
），根据 
，求出ω=1，可得周期T的值．
（2）根据f（A）=1，求得A=
，再由S△ABC=
bc•sinA=
，求得 bc 的值，再利用基本不等式求出△ABC周长的最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=
=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+2sinωx•
cosωx=cos2ωx+
sin2ωx=2sin（2ωx+
）．
∵
，∴2ω•
+
=2kπ+
，从而ω=6k+1，k∈z．
又
-
≤
，∴ω≤3，因此 k=0，ω=1，∴T=
=π．
（2）∵f（A）=1，∴2sin（2A+
）=1，∴A=
，S△ABC=
bc•sinA=
，∴bc=4，
∴△ABC周长为 b+c+a=b+c+
≥2
+
=6，当且仅当b=c时等号成立．
故△ABC周长的最小值为6．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理和基本不等式的应用，三角函数的周期性以及求法，属于中档题．
的解析式为2sin（2ωx+），根据 ，求出ω=1，可得周期T的值．（2）根据f（A）=1，求得A=
，再由S△ABC=bc•sinA=，求得 bc 的值，再利用基本不等式求出△ABC周长的最小值．解答：解：（1）∵f（x）=
=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+2sinωx•cosωx=cos2ωx+ sin2ωx=2sin（2ωx+）．∵
，∴2ω•+=2kπ+，从而ω=6k+1，k∈z．又
-≤，∴ω≤3，因此 k=0，ω=1，∴T==π．（2）∵f（A）=1，∴2sin（2A+
）=1，∴A=，S△ABC=bc•sinA=，∴bc=4，∴△ABC周长为 b+c+a=b+c+
≥2+=6，当且仅当b=c时等号成立．故△ABC周长的最小值为6．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理和基本不等式的应用，三角函数的周期性以及求法，属于中档题．
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