题目内容

已知向量
a
=(sin(ωx+?)，2)，
b
=(1，cos(ωx+?))，(ω＞0，0＜?＜
π
2
)．函数f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点M(1，
7
2
)．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．
分析：（1）直接根据平面向量数量积的运算以及二倍角公式求出f（x）=3-cos（2ωx+2φ）；再结合相邻两对称轴之间的距离为2，且过点M(1，
7
2
)求出ω，φ即可求f（x）的表达式；
（2）先求出周期T，再结合特殊角的三角函数值即可求出结论．
解答：（本小题满分14分）
解：（1）f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)
=sin2（ωx+φ）-1+4-cos2（ωx+φ）
=3-cos（2ωx+2φ）
∵T=4=
2π
2ω
，∴ω=
π
4
．
∵f(1)=3-cos(
π
2
•1+2φ)=
7
2
，
∴2φ=
π
6
或2φ=
5π
6

∵φ∈（0，
π
2
）
∴f(x)=3-cos(
π
2
•x+
π
6
)或f（x）=3-cos（
π
2
x+
5π
6
）…（9分）
（2）∵T=4
∴f（1）+f（2）+…+f（2009）=502[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）
=502[（3+
1
2
）+（3+
3
2
++（3-
1
2
）+（3-
3
2
）]+3+
1
2

=1509
1
2
．…（14分）
点评：本题主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及平面向量数量积的运算．是对基础知识的综合考查，属于中档题目．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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