Question

已知向量

a

=(sin(x-

π

4

)，-1)，

b

=(

2

，2)且f(x)=

a

•

b

+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x₁，x₂且m∈(1，

2

)，求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：（1）直接把向量的坐标代入解析式，利用数量积的坐标运算化简；
（2）由x-

π

4

分别取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π求出x的值进行列表，然后描点用平滑曲线连接；
（3）利用复合函数的单调性求出函数f（x）的单调区间，通过取k得值求出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间；
（4）分析得到满足m∈(1，

2

)时关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根x₁，x₂在[

π

2

，π]内切关于x=

3π

4

对称，利用中点坐标公式求x₁+x₂的值．

解答：解：（1）由向量

a

=(sin(x-

π

4

)，-1)，

b

=(

2

，2)，
所以f(x)=

a

•

b

+2=(sin(x-

π

4

)，-1)•(

2

，2)+2
=

2

sin(x-

π

4

)-2+2=

2

sin(x-

π

4

)．
（2）函数f（x）的周期为2π．
列表：

描点并用平滑曲线连接：

（3）由

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
得

3π

4

+2kπ≤x≤

7π

4

+2kπ，k∈Z．
当K=-1时，得-

5π

4

≤x≤-

π

4

；当k=0时，得

3π

4

≤x≤

7π

4

．
所以f（x）在[-π，π]上的单调递减区间为[-π，-

π

4

]，[

3π

4

，π]．
（4）由

2

sin(x-

π

4

)＞1，得sin(x-

π

4

)＞

2

2

．
因为x∈[-π，π]，所以-

5π

4

≤x-

π

4

≤

3π

4

．
所以

π

4

＜x-

π

4

＜

3π

4

，则

π

2

＜x＜π．
所以当m∈(1，

2

)时方程f（x）=m的两个根x₁，x₂关于x=

3π

4

对称．
所以x₁+x₂=

3π

2

．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，训练了利用五点作图法作函数的图象，训练了复合函数单调性的求法，考查了函数零点的判断方法，该题考查知识点多，训练了学生综合处理问题的能力，是中档题．