Question

【题目】在如图所示的四棱锥中，四边形为平行四边形，为边长为2的等边三角形，，点，分别为，的中点，是异面直线和的公垂线．

（1）证明：平面平面；

（2）记的重心为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）为的中点，利用等边三角形的性质可得，根据是异面直线与的公垂线，可得．可得平面．进而得出：平面平面．

（2）根据，为中点，可得，又是异面直线与的公垂线，可得，可得：平面．建立如图所示的空间直角坐标系．设平面的一个法向量为，可得，由，，的坐标可得的重心．设直线与平面所成角为，则，．

解：（1）证明：因为为的中点，所以在等边中，

又因为是异面直线和的公垂线，所以

又因为，平面，所以平面

因为平面，所以平面平面

（2）因为、为中点，所以，又因为是异面直线和的公垂线，

所以，，所以为等腰直角三角形

连接，，

因为，平面，平面平面且平面平面

所以平面

因此，以为原点，分别以、、所在的直线为、、轴建系如图所示：

则，，，

因为四边形为平行四边形，设

因为，所以

所以

设面的一个法向量为

，

由

令，则，，所以

因为，，，

所以的重心为的坐标为，

设直线与平面所成角为，则