题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
，
，
，
、
分别为棱
、
的中点，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）若二面角
的大小为45°，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）证明
，
得到答案.
（2）以与
垂直的直线为
轴，所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，面
的法向量记为
，面
的法向量为
，根据夹角得到
，平面
的法向量
，计算得到答案.
（1）因为点
为的中点，
，
，
所以四边形
为平行四边形，即.
因为、
分别为棱、
的中点，.
，所以平面
平面
.
（2）如图所示
因为
，
，
与
为相交直线，所以
平面
，不妨设
，则
.
以与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设
，
，
，
，
，
从而
，
，
面的法向量记为
，则
，可得
，
令
，则
，，
又面的法向量为，二面角
的大小为45°.
，解得，所以
，
，，
所以
，
，
，
设平面的法向量为
，则
，可得：
.
令
，则
，
.所以.
设直线
与平面所成角为
，则
.
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