Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）若，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若对任意的，都有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分类讨论，详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）求导后，分别在、和三种情况下求得的正负，由此可确定单调性；

（Ⅱ）令，分别在、和三种情况下，利用导数确定单调性和最值，进而确定符合题意的取值范围.

（Ⅰ）由题意得：定义域为，

则，

①当时，

由可得：或；由可得：；

的单调增区间为，，单调递减区间为；

②当时，则，此时的单调递增区间为；

③当时，

由可得：或；由可得：；

的单调增区间为，，单调递减区间为；

综上所述：当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．

（Ⅱ）令，则，

，

①当时，令，解得：，，

，，

当时，，在上单调递增，

，满足题意；

②当时，由①知：，

当时，，在上单调递减，

则当时，，不合题意；

③当时，，则，在上单调递减，

当时，，不合题意；

综上所述：实数的取值范围为.