Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形为梯形，且ABDC，，平面平面．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先利用面面垂直的性质定理可得平面，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理得证；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式求解即可．

解：（Ⅰ）证明：∵平面平面，平面平面，，在平面内，

∴平面，

又∵，

∴平面，

而在平面内，

∴平面平面；

（Ⅱ）作于，则平面，过作交于，

如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，

故，，，

设平面的一个法向量为，则，

则可取，

设平面的一个法向量为，则，

则可取，

∴，

由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为．