Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，判断并说明函数的零点个数.若函数所有零点均在区间内，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）存在两个零点，且，；的最小值为.

【解析】

（1）对函数进行求导，根据的不同取值进行分类讨论，根据导函数的正负性，求出函数的单调性即可；

（2）根据，结合的导数的性质进行分类讨论求解即可.

（1）的定义域为

当时，，

所以在上单调递增:

当时，

所以在上单调递增:

当时，令，

得，（舍）

当时，，

当时，

所以在上单调递增，

在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增:

当时，在上单调递增，

在上单调递减.

（2）当时，，

当时，单调递增，

，

则，故不存在零点:

当时，，

在上单调递减，

所以

所以，单调递增，

又

所以存在唯一，使得

当时，，，

所以单调递减，

，

所以，存在使得

当时，单调递增；

当时，单调递减， .

又，

因此，在上恒成立，

故不存在零点.

当时，，

所以单调递减，

因为，

所以单调递减，

又，

所以存在唯一，使得.

当时，，

故不存在零点.

综上，存在两个零点，且，

因此的最小值为.