Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）判断并说明函数的零点个数.若函数所有零点均在区间内，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调增区间为，单调减区间为（2）存在两个零点，详见解析； 的最小值为3

【解析】

（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；

（2）求出导函数，分类讨论的正负，确定的单调性，再根据零点存在定理确定零点存在的区间．首先确定上有一个零点，然后确定，，，上有否零点，从而可得的最小值．

解：（1）的定义域为，

，

令，得，（舍）.

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因此，函数的单调增区间为，单调减区间为.

（2），

当时，，

因为单调递减，

所以，在上单调递增，

又，，

所以存在唯一，使得.

当，，，

所以单调递减，

又，

所以，在上单调递增.

因为，所以，故不存在零点.

当时，，，

所以单调递减，

又，，

所以存在，使得.

当时，，单调递增，

当时，，单调递减.

又，，，

所以存在唯一，使得.

当时，，故不存在零点.

综上，存在两个零点，，且，，

因此的最小值为3.