Question

【题目】如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体

（1）求证：

（2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值；

（3）若平面底面，求六面体的体积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

根据折叠图形， ，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据平面，得到.

（2）根据，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，根据，可知，，表示相应点的坐标，分别求得平面与平面的法向量，代入求解.

设所求几何体的体积为，设为高，则，表示梯形BEFD和 ABD的面积由，再利用导数求最值.

（1）证明：不妨设与的交点为与的交点为

由题知，，则有

又，则有

由折叠可知所以可证

由平面平面，

则有平面

又因为平面，

所以....

（2）解：依题意，有平面平面，

又平面，

则有平面，，又由题意知，

如图所示：

以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系

由题意知

由可知，

则

则有，

，

设平面与平面的法向量分别为

则有

则

所以

因为，解得

设所求几何体的体积为，设，

则，

当时，，当时，

在是增函数，在上是减函数

当时，有最大值，

即

六面体的体积的最大值是