Question

已知圆C₁：x²+（y-1）²=1，抛物线C₂的顶点在坐标原点，焦点F为圆C₁的圆心
（1）已知直线l的倾斜角为

π

4

，且与圆C₁相切，求直线l的方程；
（2）过点F的直线m与曲线C₁，C₂交于四个点，依次为A，B，C，D求|AC|•|BD|的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出圆心和半径，设出直线y=x+b，运用直线和圆相切的条件：d=r，解方程，即可得到；
（2）设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），运用抛物线的定义，结合圆的定义，可得|AC|•|BD|=（y₁+2）（y₂+2），设直线AD：x=m（y-1），代入抛物线方程，运用韦达定理，化简整理，即可得到m的关系式，即可得到范围．

解答： 解：（1）圆C₁：x²+（y-1）²=1，圆心为（0，1），半径为1，
抛物线的焦点F为（0，1），则抛物线方程为：x²=4y，准线方程为：x=-1．
设直线y=x+b，则与圆C₁相切，有d=r=1，即有

|0+b-1|

2

=1，
解得，b=1±

2

，
则直线l的方程为y=x+1+

2

或y=x+1-

2

；
（2）设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
抛物线x²=4y的焦点为（0，1），准线为y=-1．
|AF|=y₁+1，|DF|=y₂+1，
则|AB|=|AF|-1=y₁，|CD|=|DF|-1=y₂，
则有|AC|•|BD|=（y₁+2）（y₂+2）
=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4
设直线AD：x=m（y-1），代入抛物线方程，
得，m²y²-（2m²+4）y+m²=0，
即有y₁+y₂=2+

4

m2

，y₁y₂=1，
则|AC|•|BD|=1+4+

8

m2

+4=9+

8

m2

＞9．
当直线AD平行于x轴，即y=1，
解得A（-2，1），B（-1，1），C（1，1），D（2，1），
则|AC|•|BD|=9．
综上，则有|AC|•|BD|的取值范围为[9，+∞）．

点评：本题考查直线与圆相切的条件，考查抛物线的定义和方程及性质，考查直线和抛物线方程联立消去未知数，运用韦达定理解题，考查运算能力，属于中档题．