题目内容

已知P是△ABC所在平面内的点，且
PA
+2
PB
+3
PC
=3
AC
，
（1）求证：点P在直线AB上；
（2）求△PAC与△PBC的面积之比．
考点：向量在几何中的应用
专题：计算题,作图题,证明题,平面向量及应用
分析：（1）由
PA
+2
PB
+3
PC
=3
AC
经线性运算可化得2
PA
+
PB
=
0
，从而证明；
（2）如图，由2
PA
+
PB
=
0
可得
h1
h2
=
1
2
；从而可得S△PAC：S△PBC=
1
2
•CP•h1
1
2
•CP•h2
=
1
2
．
解答： 解：（1）证明：∵
PA
+2
PB
+3
PC
=3
AC
，
∴
PA
+2
PB
+3
PC
-3
AC
=
0
；
∴
PA
+2
PB
+3
PA
=
0
；
∴2
PA
+
PB
=
0
；
∴点P在直线AB上；
（2）∵2
PA
+
PB
=
0
，
∴
h1
h2
=
1
2
；
故S△PAC：S△PBC=
1
2
•CP•h1
1
2
•CP•h2
=
1
2
．
点评：本题考查了向量的线性运算，同时考查了向量在几何中的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知a、b、c都是实数，则“ac2＞bc2”是“a＞b”的（　　）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内共有（　　） 条鱼．
A、250B、300
C、500D、750
已知圆C1：x2+（y-1）2=1，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点F为圆C1的圆心
（1）已知直线l的倾斜角为
π
4
，且与圆C1相切，求直线l的方程；
（2）过点F的直线m与曲线C1，C2交于四个点，依次为A，B，C，D求|AC|•|BD|的取值范围．
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为
x=2cosθ
y=
3
sinθ
(θ为参数)以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为p(sinϕ-
3
cosϕ)+
3
=0，则直线l截曲线C所得的弦长为
 
．
如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
1
2
AB，M是PB的中点
（Ⅰ）求直线AC与直线PB所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求直线AB与面ACM所成角的正弦值．
已知定点M（-1，0），N（1，0），P是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1上动点，则
1
|PM|
+
4
|PN|
的最小值为（　　）
A、2
B、
9
4
C、3
D、3+2
2
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=1有极值，则3a+2b+c=
 
．
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A、
2
π
B、2
2
π
C、
π
3
D、
2π
3

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