题目内容

14．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，点O位坐标原点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过椭圆E的左焦点F作任一条不垂直于坐标轴的直线l，交椭圆E于P，Q两点，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的中点为M，过F做PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明，点N在一条定直线上．

分析 （1）由椭圆的离心率求得a2=5b2，将点（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可椭圆方程；
（2）设直线方程l，则直线FN：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），将直线l代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，根据直线OM方程，求得直线FN和OM的交点N，即可得证．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则a2=5b2，
将点（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{5{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得：b2=1，a2=5，
∴椭圆E的标准方程$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：由题意可知：直线l的斜率存在，且不为0，y=k（x+2），直线FN：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），
设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+5k2）x2+20k2x+20k2-5=0，
由韦达定理可知：x1+x2=-$\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，x1+x2=$\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$，
则x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{10{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，y0=k（x0+2）=$\frac{2k}{1+5{k}^{2}}$，
则直线OM的斜率为kOM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{5k}$，
直线OM：y=-$\frac{1}{5k}$x，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{5k}x}\\{y=-\frac{1}{k}（x+2）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{2}}\\{y=\frac{1}{2k}}\end{array}\right.$，
即有k取何值，N的横坐标均为-$\frac{5}{2}$，则点N在一条定直线x=-$\frac{5}{2}$上．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查点在定直线上的求法，注意运用直线方程求交点，考查运算能力，属于中档题．

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