Question

17．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（x_Q，y_Q）（点Q异于点P），若0＜x_Q＜1，求直线l斜率k的取值范围；
（3）若以点P为圆心作n个圆P_i（i=1，2，…，n），设圆P_i交x轴于点A_i、B_i，且直线PA_i、PB_i分别与椭圆E交于M_i、N_i（M_i、N_i皆异于点P），证明：M₁N₁∥M₂N₂∥…∥M_nN_n．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率求得a²=4b²，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得x_Q，由0＜x_Q＜1，即可求得k的取值范围；
（3）由题意可知：故直线PA_i，PB_i的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即可求得x_i，x_i′，根据直线的斜率公式，即可求得$\frac{{y}_{i}-{y}_{i}′}{{x}_{i}-{x}_{i}′}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，${k}_{{M}_{1}{N}_{1}}$=${k}_{{M}_{2}{N}_{2}}$=…=${k}_{{M}_{n}{N}_{n}}$，则M₁N₁∥M₂N₂∥…∥M_nN_n．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=4b²，
将P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{1}{4{b}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，解得：b²=1，则a²=4，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l的方程y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=k（x-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{\sqrt{3}}{2}=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（1+4k²）x²+（4$\sqrt{3}$k-8k²）x+（4k²-4$\sqrt{3}$k-1）=0，
由x₀•1=$\frac{4{k}^{2}-4\sqrt{3}k-1}{1+4{k}^{2}}$，由0＜x₀＜1，则0＜$\frac{4{k}^{2}-4\sqrt{3}k-1}{1+4{k}^{2}}$＜1，
解得：-$\frac{\sqrt{3}}{6}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}-2}{2}$，或k＞$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，经验证，满足题意，
直线l斜率k的取值范围（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}-2}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，+∞）；
（3）动圆P的半径为PA_i，PB_i，故PA_i=PB_i，△PA_iB_i为等腰三角形，故直线PA_i，PB_i的斜率互为相反数，设PA_i的斜率k_i，则直线PB_i的斜率为-k_i，
设直线PA_i的方程：y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=k_i（x-1），则直线PB_i的方程：y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-k_i（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{\sqrt{3}}{2}={k}_{i}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（1+4k_i²）x²+（4$\sqrt{3}$k_i-8k_i²）x+（4k_i²-4$\sqrt{3}$k_i-1）=0，设M_i（x_i，y_i），N_i（x_i′，y_i′），
则x_i•1=$\frac{4{k}_{i}^{2}-4\sqrt{3}{k}_{i}-1}{1+4{k}_{i}^{2}}$，则x_i=$\frac{4{k}_{i}^{2}-4\sqrt{3}{k}_{i}-1}{1+4{k}_{i}^{2}}$，
将-k_i代替k_i，则x_i′=$\frac{4{k}_{i}^{2}+4\sqrt{3}{k}_{i}-1}{1+4{k}_{i}^{2}}$，
则x_i+x_i′=$\frac{8{k}_{i}^{2}-2}{1+4{k}_{i}^{2}}$，x_i-x_i′=-$\frac{8\sqrt{3}{k}_{i}}{1+4{k}_{i}^{2}}$，y_i-y_i′=k_i（x_i-1）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+k_i（x_i-1）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=k_i（x_i+x_i′）-2k_i，
=k_i×$\frac{8{k}_{i}^{2}-2}{1+4{k}_{i}^{2}}$-2k_i，
=$\frac{-4{k}_{i}}{1+4{k}_{i}^{2}}$，
则$\frac{{y}_{i}-{y}_{i}′}{{x}_{i}-{x}_{i}′}$=$\frac{\frac{-4{k}_{i}}{1+4{k}_{i}^{2}}}{\frac{-8\sqrt{3}{k}_{i}}{1+4{k}_{i}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故${k}_{{M}_{1}{N}_{1}}$=${k}_{{M}_{2}{N}_{2}}$=…=${k}_{{M}_{n}{N}_{n}}$，
∴M₁N₁∥M₂N₂∥…∥M_nN_n．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．