Question

已知函数f（x）对任意x、y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y），f（1）=-2且当x＞0时，都有f（x）＜0．
（1）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（100）；
（2）求证：f（x）在R上单调递减．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=0，y=0 得 f（0）=0，令x=n，y=1，则f（n+1）=f（n）+f（1）=f（n）-2，则数列{f（n）}是以-2为首项，-2为公差的等差数列．再由等差数列的求和公式，即可求出所求的值；
（2）运用单调性的定义，设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，当x＞0时，都有f（x）＜0，则f（x₂-x₁）＜0，再由已知条件
f（x）+f（y）=f（x+y），即可得证．

解答： （1）解：由于对任意x、y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=0，y=0 得 f（0）=f（0）+f（0）即 f（0）=0，
令x=n，y=1，则f（n+1）=f（n）+f（1）=f（n）-2，
则数列{f（n）}是以-2为首项，-2为公差的等差数列．
则f（n）=-2+（-2）（n-1）=-2n，
故f（0）+f（1）+f（2）+…+f（100）
=

1

2

×100×（-2-200）=-10100；
（2）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
当x＞0时，都有f（x）＜0，
则f（x₂-x₁）＜0，
即有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁），
故f（x）在R上单调递减．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性的判断．考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．