Question

某批发公司批发某商品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但限定最低批发价为100元，此时对应批发量规定为最大批发量．
（1）求最大批发量；
（2）当一次订购量为x个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式，并求出函数的定义域；
（3）当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润？

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）设最大批发量为t，由题意知120-（t-100）×0.04=100，解得t即可；
（2）根据题目条件可知该批发价的函数是一分段函数，用分段函数表示出P=f（x）即可，并证明定义域；
（3）当经销商一次批发个零件x时，该批发公司可获得利润为y，根据利润=（批发价-进价）×个数求出利润函数，然后根据分段函数的最值的求法求出所求．

解答： 解：（1）设最大批发量为t，由题意知
120-（t-100）×0.04=100，解得t=600，
即最大批发量为600个；                 
（2）P=f（x）=

120，0＜x≤100，x∈N* -0.04x+124，100＜x≤600，x∈N*

．  
函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤600，x∈N^*}；     
（3）当经销商一次批发个零件x时，该批发公司可获得利润为y元，由题意知：
y=

40x，0＜x≤100，x∈N* -0.04x2+44x，100＜x≤600，x∈N*

．                 
设f₁（x）=40x，则在x=100时，取得最大值为4000；            
设f₂（x）=-0.04x²+44x=-0.04（x-550）²+0.04×550²
所以当x=550时，f2（x）取最大值12100．                     
答：当经销商一次批发550个零件时，该批发公司可获得最大利润．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查二次函数的性质，考查计算能力和建模能力，属于中档题．