Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点是F，上顶点是A，点M满足

AM

=

1

2

(

AO

+

AF

)（O为坐标原点），且sin∠MAF=

1

3

，则椭圆C的离心率为（　　）

• A、

  6

  3

• B、

  3

  3

• C、

  6

  6

• D、

  6

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先根据

AM

=

1

2

(

AO

+

AF

)确定M为OF的中点，进一步求得AM的长，sin∠AFM=

b

a

，再利用正弦定理，求得a和c的关系，最后求得e=

6

3

．

解答： 解：根据条件：

AM

=

1

2

(

AO

+

AF

)则：M为OF的中点
则：AM=

b2+ c2 4

  sin∠AFM=

b

a

在△AMF中，利用正弦定理：

AM

sin∠AFM

=

MF

sin∠MAF

则：

c 2

1 3

=

b2+ c2 4

b a

由于b²=a²-c²
进一步求得：4a⁴-12a²c²+9c⁴=0
即：2a²-3c²=0
进一步求得：e=

6

3

故选：A

点评：本题考查的知识要点：向量的运算，椭圆中a、b、c的关系，正弦定理的应用，离心率的公式及相关的运算问题．