Question

⊙M：（x+1）²+y²=1及⊙N：（x-1）²+y²=9，动圆P与⊙M外切且与⊙N相内切，圆心P的轨迹为曲线C
①求曲线C的方程；
②Q为曲线C上任一点，求

QM

•

QN

的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：①利用两个圆相切的性质、双曲线的定义即可得出；
②利用数量积运算、双曲线的方程即可得出．

解答： 解：①|PM|-|PN|=1＜|MN|=2，
∴圆心P的轨迹为双曲线的右支，其方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1．（x＞0）．
②设Q（x，y）(

1

2

≤x≤

1+ 30

4

)，
则

QM

•

QN

=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x²-1+y²
=4x2-

1

4

∈[

3

4

，

15+ 30

2

]．

点评：本题考查了两个圆相切的性质、双曲线的定义及其方程、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．