Question

已知函数f（x）=

2x+3

3x

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）an+1=

2 an +3

3 an

=

2+3an

3

=an+

2

3

，所以a_n+1-a_n=

2

3

，由此能求出a_n=

2

3

n+

1

3

．
（2）b_n=

1

anan+1

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x+3

3x

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

），
∴an+1=

2 an +3

3 an

=

2+3an

3

=an+

2

3

，
∴a_n+1-a_n=

2

3

，
∴数列{a_n}是以

2

3

为公差，首项a₁=1的等差数列，
∴a_n=

2

3

n+

1

3

．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

( 2 3 n+ 1 3 )( 2 3 n+1)

=

9

(2n+1)(2n+3)

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴T_n=

9

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

3

2

-

9

4n+6

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．