Question

14．设数列{a_n]是首项为2，公差为3的等差数列，S_n为数列{b_n}的前n项和，且S_n=n²-2n
（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式a_n和b_n
（2）若数列{a_n}的前n项和为T_n，求满足T_n＜20b_n时n的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的通项公式可得a_n，再由当n=1时，b₁=S₁；当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，得b_n；
（2）运用等差数列的求和公式可得数列{a_n}的前n项和为T_n，解不等式结合当n＞13时，3n²-79n+120随着n的增大而增大，即可得到所求n的最大值．

解答 解：（1）a_n=a₁+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1．
当n=1时，b₁=S₁=-1．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-2n-（n-1）²+2（n-1）=2n-3．
当n=1时上式也成立，
∴b_n=2n-3（n∈N^*）．
所以a_n=3n-1，b_n=2n-3（n∈N^*）；
（2）数列{a_n}的前n项和为T_n=$\frac{n（2+3n-1）}{2}$=$\frac{n（3n+1）}{2}$，
T_n＜20b_n时，即为$\frac{n（3n+1）}{2}$＜20（2n-3），
化为3n²-79n+120＜0，
当n＞13时，3n²-79n+120随着n的增大而增大，
n=24时，3n²-79n+120=-48＜0，
n=25时，3n²-79n+120=20＞0，
则n的最大值为24．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式的运用，以及数列不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．