Question

已知函数，，其中,设．

(1)判断的奇偶性，并说明理由；

(2)若，求使成立的x的集合．

 

Answer 1

【答案】

(1)奇函数

(2){x|0<x<1}

【解析】(1)由对数的意义，分别得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.

∴函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，函数g(x)的定义域为(－∞，1)，

∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．……………………3分

∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，

h(－x)＝f(－x)－g(－x)

＝log_a(1－x)－log_a(1＋x)

＝g(x)－f(x)＝－h(x)，

∴h(x)是奇函数．           ………………………….6分

(2)由f(3)＝2，得a＝2.

此时h(x)＝log₂(1＋x)－log₂(1－x)，

由h(x)>0即log₂(1＋x)－log₂(1－x)>0，

∴log₂(1＋x)>log₂(1－x)．

由1＋x>1－x>0，解得0<x<1.

故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}．………………..12分