Question

21．已知函数，，其中，设为的极小值点，为的极值点，，并且，将点依次记为．

（1）求的值；

（2）若四边形为梯形且面积为1，求的值．

Answer 1

本小题考查多项式函数的导数，函数极值的判定，二次函数与二次方程等基础知识的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.

   （Ⅰ）解：f′（x）=ax²+2（a+d）x+a+2d=（x+1）（ax+a+2d）.

令f′（x）=0，由a≠0得x=－1或x=－1－.

∵a＞0，d＞0.

∴-1-＜-1.

当-1-＜x＜-1时，f′（x）＜0，

当x＞-1时，f′（x）＞0.

所以f（x）在x=-1处取得极小值，即

x₀=-1.

（Ⅱ）解：g（x）=ax²+（2a+4d）x+a+4d，

∵a＞0，x∈R，

∴g（x）在x=-=-1-处取得极小值，即

x₁=-1-.

由g（x）=0，即（ax+a+4d）（x+1）=0，

∵a＞0，d＞0，x₂＜x₃，

∴x₂=-1-，x₃=-1.

∵f（x₀）=f（-1）=-a+（a+d）-（a+2d）+d=-a，

g（x₁）=g（-1-）=a（-1-）²+（2a+4d）（-1-）+a+4d=-，

∴A（-1，-a），B（-1-，-），C（-1-，0），D（-1，0）.

由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得AB∥CD.

∴－，即

a²=12d².

由四边形ABCD的面积为1，得（|AB|+|CD|）·|AD|=1，即

()·=1，得

d=1.

从而a²=12，得

     a=2.