Question

13．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD=AB=2AD=2，PC=2$\sqrt{2}$，M，N分别是CD，PB的中点，
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）若E为AD的中点，求三棱锥D-EMN的体积．

Answer 1

分析 （1）取PA的中点F，连接FN，DF，由三角形中位线定理可得FN=$\frac{1}{2}AB$，FN∥AB，又已知DM=$\frac{1}{2}AB$，BM∥AB，得到FN∥DM，FN=DM，则四边形MNFD是平行四边形，则MN∥FD，由线面平行的判定可得MN∥平面PAD；
（2）由PD=DC=2，PC=2$\sqrt{2}$，可得PD²+DC²=PC²，则PD⊥DC，又PD⊥BC，则PD⊥平面ABCD，已知N为PB的中点，求出N到面DEM的距离是PD的一半，求出S_△DEM，即可求出三棱锥D-EMN的体积．

解答 （1）证明：取PA的中点F，连接FN，DF，∵F，N分别为PA，PB的中点，
∴FN=$\frac{1}{2}AB$，FN∥AB，
又∵DM=$\frac{1}{2}AB$，BM∥AB，
∴FN∥DM，FN=DM，
则四边形MNFD是平行四边形，则MN∥FD，
又∵FD?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）解：∵PD=DC=2，PC=2$\sqrt{2}$，
∴PD²+DC²=PC²，则PD⊥DC．
又∵PD⊥BC，∴PD⊥平面ABCD．
∵N为PB的中点，∴N到面DEM的距离是PD的一半，即为1．
又∵${S}_{△DEM}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$，
∴${V}_{D-EMN}={V}_{N-DEM}=\frac{1}{3}{S}_{△DEM}×1=\frac{1}{12}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．