Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆C上任意一点到两个焦点的距离之和是4．直线l：y=kx+m与椭圆C相切于点P，且点P在第二象限．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求点P的坐标（用k表示）；
（Ⅲ）若过坐标原点O的直线l₁与l垂直于点Q，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的定义可得a=2，再由离心率公式可得c，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）将直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式为0，解方程可得P的坐标；
（Ⅲ）由于l₁与l垂直于点Q，则|PQ|即为P到直线l₁的距离，设l₁：y=-$\frac{1}{k}$x，即x+ky=0，运用点到直线的距离公式，化简整理，再由基本不等式可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=4，即a=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）将直线y=kx+m代入椭圆方程x²+4y²=4，可得
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由直线和椭圆相切，可得△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，
化为m²=1+4k²，
可得P的横坐标为-$\frac{8km}{2（1+4{k}^{2}）}$=-$\frac{4k}{m}$=-$\frac{4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
纵坐标为-$\frac{4{k}^{2}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$+$\sqrt{1+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
即有P（-$\frac{4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{1}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$）；
（Ⅲ）由于l₁与l垂直于点Q，则|PQ|即为P到直线l₁的距离，
设l₁：y=-$\frac{1}{k}$x，即x+ky=0，
可得|PQ|=$\frac{|\frac{-4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}+\frac{k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{3k}{\sqrt{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+5}}$≤$\frac{3}{\sqrt{2\sqrt{4{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+5}}$=$\frac{3}{3}$=1．
当且仅当4k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|PQ|取得最大值1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和离心率公式，考查直线和椭圆相切的条件，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用判别式为0，考查点到直线的距离公式以及基本不等式的运用：求最值，属于中档题．