Question

5．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（4a-3c）cosB=3bcosC，若a，b，c成等差数列，则sinA+sinC=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得4sinAcosB=3sinA，结合sinA≠0，可得：cosB=$\frac{3}{4}$，从而可求sinB，由2b=a+c，利用正弦定理即可计算得解．

解答 解：在△ABC中，∵（4a-3c）cosB=3bcosC，
∴4sinAcosB-3sinCcosB=3sinBcosC，可得：4sinAcosB=3sin（B+C）=3sinA，
∵sinA≠0，可得：cosB=$\frac{3}{4}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵a，b，c成等差数列，2b=a+c，
∴2sinB=sinA+sinC=2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．