Question

若{a_n}是公差d≠0等差数列，{b_n}是公比q≠1等比数列，已知a₁=b₁=1，且a₂=b₂，a₆=b₃．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

an•an+1

}的前n项和S_n；
（3）是否存在常数a，b使得对一切n∈N^*都有a_n=log_ab_n+b成立？若存在．求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，可得

1+d=q 1+5d=q2

解之即可，再结合a₁=b₁=1，即可求得数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n=3n-2，b_n=4^n-1，利用裂项法可求得

1

an•an+1

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），从而可求数列{

1

an•an+1

}的前n项和S_n；
（3）假设存在常数a，b满足题意，把a_n=3n-2，b_n=4^n-1代入a_n=log_ab_n+b，计算即可获得答案．

解答： 解：（1）依题得

1+d=q 1+5d=q2

⇒

d=3 q=4

，
∴a_n=3n-2，b_n=4^n-1；
（2）∵

1

anan+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
∴S_n=

1

3

[（

1

1

-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

n

3n+1

；
（3）假设存在常数a，b满足题意，把a_n=3n-2，b_n=4^n-1代入a_n=log_ab_n+b，
得：3n-2=loga4n-1+b，
即（3-log_a4）n+（log_a4-b-2）=0对一切n∈N^*都成立，
∴

3-loga4=0 loga4-b-2=0

，
解得：

a= 3 4 b=1

．
即存在常数a=

3	4

，b=1满足题设．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的综合应用，突出裂项法求和的考查，渗透方程思想、转化思想的应用，属于难题．