Question

20．已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．

x	$-\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）	0	2	0	-2	0

（Ⅰ） 请写出函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 求函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据列表可知A=2，求解周期可得ω，选取一个坐标即可求解φ，可得解析式．将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（Ⅱ） x∈$[0，\frac{π}{2}]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范围．

解答 解：（ I）由题意，可得A=2
周期$T=\frac{5}{6}π-（-\frac{π}{6}）=π$，
即$T=\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2．
又A=2，可得f（x）=2sin（2x+φ），
图象过点（$\frac{π}{12}$，2），将$（\frac{π}{12}，2）$代入f（x），
有$2sin（\frac{π}{6}+φ）=2$，即$sin（\frac{π}{6}+φ）=1$．
∵|φ|＜π，
∴$φ+\frac{π}{6}∈（-\frac{5}{6}π，\frac{7}{6}π）$，
因此$φ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$φ=\frac{π}{3}$．
故$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
∵函数y=sinx的单调区间为$2kπ-\frac{π}{2}＜x＜2kπ+\frac{π}{2}$，
∴令$2kπ-\frac{π}{2}＜2x+\frac{π}{3}＜2kπ+\frac{π}{2}$，
即     $2kπ-\frac{5π}{6}＜2x＜2kπ+\frac{π}{6}$，
解得     $kπ-\frac{5π}{12}＜x＜kπ+\frac{π}{12}$，
∴f（x）的增区间为$（kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}），（k∈Z）$
（ II）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴有$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
∴当 $x=\frac{π}{12}$时，函数f（x）取得最大值为2，
当 $x=\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值$-\sqrt{3}$，
故得函数f（x）在 $[0，\frac{π}{2}]$上的取值范围为$[-\sqrt{3}，2]$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据列表求出三角函数的解析式式关键，是基础题．