Question

1．已知sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，则cos2α=$-\frac{1}{4}$或1．

Answer 1

分析 由条件可得sinβ=$\frac{1}{2}$sinα ①，cosβ=$\frac{3}{2}$cosα ②，或sinα=0 ③．把①、②平方相加即可求得cos²α 的值；由③再得到一个cos²α的值，进而利用二倍角公式可得结论．

解答 解：∵已知sinα=2sinβ，∴sinβ=$\frac{1}{2}$sinα ①．
∵tanα=3tanβ，∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{3sinβ}{cosβ}$，可得 cosβ=$\frac{3}{2}$cosα  ②，或sinα=0 ③．
若②成立，则把①、②平方相加可得 1=$\frac{1}{4}$sinα²+$\frac{9}{4}$cos²α=$\frac{1}{4}$+2cos²α，
解得 cos²α=$\frac{3}{8}$．可得：cos2α=2cos²α-1=$-\frac{1}{4}$，
若③成立，则有cos²α=1．可得：cos2α=2cos²α-1=1，
综上可得，cos2α=$-\frac{1}{4}$，或cos2α=1．
故答案为：$-\frac{1}{4}$，或1．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系，属于中档题．