Question

5．已知函数f（x）=x³+ax²+x+1（a∈R）．若f（x）在区间（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}}$）内是减函数，则a的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{7}{4}，+∞}）$
• B． [2，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 先求出函数的导数，再由f′（x）=3x²+2ax+1＜0的解集是（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}}$），得到不等式，从而求出a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=x³+ax²+x+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+1＜0的解集是（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}-\frac{4a}{3}+1≤0}\\{\frac{1}{3}-\frac{2a}{3}+1≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{7}{4}$，
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性，导数的应用，是一道中档题．