Question

15．经过P（-1，2）且倾斜角为α的直线l与圆x²+y²=8的交点是A，B；
（1）当α=$\frac{π}{4}$时，求弦AB的长度；
（2）求当弦AB的长度最短时，直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）当α=45°时，求出直线的斜率，根据点斜式方程求直线AB的方程，即可求弦AB的长度；
（2）当弦AB最短时，等价为圆心到直线的距离最大，根据圆心到直线的距离公式即可求直线AB的方程．

解答 解：（1）α=45°时，直线AB的斜率为1，直线AB的方程为y-2=（x+1），
即x-y+3=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴弦AB的长度=2$\sqrt{8-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{14}$；
（2）由半弦长$\frac{1}{2}$|AB|、弦心距d、半径r三者之间的关系式：
（$\frac{1}{2}$|AB|）²+d²=r²，知当|AB|最小时，d最大．
此时，OP₀⊥AB，直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，
所以直线AB的方程为y-2=$\frac{1}{2}$（x+1），
即x-2y+5=0．

点评 本题主要考查直线和圆的方程，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．