Question

10．已知数列{a_n}的前n和为S_n，若a_n=2n（n∈N*），则数列{$\frac{1}{S_n}}\right.$}的前n项和为（　　）

• A． $\frac{n}{n+1}$
• B． $\frac{n-1}{n}$
• C． $\frac{n+1}{n}$
• D． $\frac{n}{n-1}$

Answer 1

分析 由a_n=2n（n∈N*），可知数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，根据等差数列前n项和公式求得S_n，由$\frac{1}{S_n}}\right.$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，因此T_n=$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{S_i}=}\sum_{i=1}^n{（\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}）=}1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，即可求得则数列{$\frac{1}{S_n}}\right.$}的前n项和．

解答 解：由a_n=2n（n∈N*），
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，
∴数列的前n项和S_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∴$\frac{1}{S_n}}\right.$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则数列{$\frac{1}{S_n}}\right.$}的前n项和T_n，T_n=$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{S_i}=}\sum_{i=1}^n{（\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}）=}1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
故选：A．

点评 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．