Question

7．己知O为坐标原点，倾斜角为$\frac{2π}{3}$的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为8$\sqrt{3}$．
（I ）求直线l的方程；
（II）直线l′过点O且与l平行，点P在l′上，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：直线l的斜率k=tan$\frac{2π}{3}$=-$\sqrt{3}$，设直线l的方程为：y=-$\sqrt{3}$x+b．可得直线l与坐标轴的正半轴交点为A$（\frac{\sqrt{3}}{3}b，0）$，B（0，b），其中b＞0．可得S_△OAB=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$b×b=8$\sqrt{3}$，解得b即可得出．
（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4$\sqrt{3}$）．直线l′的方程为：y=-$\sqrt{3}$x．设点A关于直线l′的对称点A′（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-0}{m-4}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{n}{2}=-\sqrt{3}•\frac{m+4}{2}}\end{array}\right.$，解得A′（-2，-2$\sqrt{3}$）．|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，当A′，B，P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：直线l的斜率k=tan$\frac{2π}{3}$=-$\sqrt{3}$，设直线l的方程为：y=-$\sqrt{3}$x+b．
可得直线l与坐标轴的正半轴交点为A$（\frac{\sqrt{3}}{3}b，0）$，B（0，b），其中b＞0．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$b×b=8$\sqrt{3}$，解得b=4$\sqrt{3}$．
∴直线l的方程为：y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$．
（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4$\sqrt{3}$）．
直线l′的方程为：y=-$\sqrt{3}$x．
设点A关于直线l′的对称点A′（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-0}{m-4}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{n}{2}=-\sqrt{3}•\frac{m+4}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，∴A′（-2，-2$\sqrt{3}$）．
∵|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，
∴当A′，B，P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．
∴（|PA|+|PB|）_min=|A′B|=4$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了直线方程、垂直平分线的性质、方程组的解法、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．