Question

已知函数f（x）=cos²（x-

π

6

）-sin²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间及最小正周期；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，

π

2

]，都有f（x）≤c，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可得f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

），于是可求其周期与单调递增区间；
（2）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]⇒sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，于是可求得实数c的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=

1+cos(2x- π 3 )

2

-

1-cos2x

2

=

1

2

（cos（2x-

π

3

）+cos2x）=

1

2

（

3

2

cos2x+

3

2

sin2x）=

3

2

sin（2x+

π

3

），
则T=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ（k∈Z），
函数f（x）的单调增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．
（2）因为x∈[0，

π

2

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
所以f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

）∈[-

3

4

，

3

2

]，
故c≥

3

2

．

点评：本题考查三角函数的周期性与单调性及其求法，着重考查三角恒等变换与正弦函数的性质，属于中档题．