Question

若x，y满足约束条件

x≥0 y≥0 y+x≤4

，P为上述不等式组表示的平面区域，则
（1）目标函数z=y-x的最小值为

 

；
（2）当b从-4连续变化到

 

时，动直线y-x=b扫过P中的那部分区域的面积为7．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．

解答： 解：（1）由z=y-x得y=x+z，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）：
平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点A（4，0）时，直线y=x+z的截距最小，此时z也最小，
将A（4，0）代入目标函数z=y-x，
得z=-4．
（2）∵A（4，0），B（0，4），∴三角形OAB的面积S=

1

2

×4×4=8，
当直线y-x=b过原点时，对应的面积为三角形面积的一半，为4，
若动直线y-x=b扫过P中的那部分区域的面积为7．
则直线y-x=b对应的图形BCD的面积为1，且0＜b＜4，
当x=0时，y=b，即D（0，b），
由

y+x=4 y-x=b

，解得

x= 4-b 2 y= 4+b 2

，即C（

4-b

2

，

4+b

2

），
则三角形BCD的面积S=

1

2

×（4-b）×

4-b

2

=1，
即（4-b）²=4，解得b=2或b=6（舍去），
故答案为：-4，2

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．