题目内容

4．“双十一”期间，某经销商试销M，N两种商品，为了调查顾客对M，N两种商品的满意程度，对顾客进行了问卷调查，参与调查的M，N两种商品件数相同，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，已知M，N两种商品的调查成绩数据统计分别如图所示，其中M商品的成绩等级为B的有10件．
（I）求调查问卷中N商品的成绩等级为D的件数，若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求调查问卷中M商品成绩的平均分；
（Ⅱ）若从本次调查问卷的成绩等级为D的商品中任取2件，记这2件商品中M商品的件数为X，求X的分布列和数学期望．

分析 （Ⅰ）先求出调查问卷中N商品的成绩等级为D的频率和参与调查的M，N两种商品件数，由此能求出调查问卷中N商品的成绩等级为D的件数和调查问卷中M商品成绩的平均分．
（Ⅱ）求出调查问卷中M商品的成绩等级为D的件数，从而得到X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）调查问卷中N商品的成绩等级为D的频率为：
1-0.025-0.150-0.375-0.375=0.075．
设调查问卷中N商品的成绩等级为D的件数为x，
∵M商品的成绩等级为B的有10件，参与调查的M，N两种商品件数相同，
∴参与调查的M，N两种商品件数都是：$\frac{10}{0.250}$=40，
∴$\frac{x}{40}=0.075$，解得x=3．
∵等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，
∴调查问卷中M商品成绩的平均分：5×0.375+4×0.250+3×0.200+2×（1-0.375-0.250-0.200-0.075）+1×0.075=3.75．
（Ⅱ）调查问卷中M商品的成绩等级为D的件数为0.1×40=4，
∴X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{3}{21}$=$\frac{1}{7}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{12}{21}$=$\frac{4}{7}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{6}{21}$=$\frac{2}{7}$，
∴X的分布列为：

 X 0 1 2
 P $\frac{1}{7}$ $\frac{4}{7}$ $\frac{2}{7}$
EX=$0×\frac{1}{7}+1×\frac{4}{7}+2×\frac{2}{7}$=$\frac{8}{7}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

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