题目内容
1．
如图，已知直线OP交椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{m}^{2}}$=1于点Q，其中O为坐标原点，点P的坐标为（2，1），$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{OP}$，若椭圆C不经过原点的弦AB被直线OP平分于点D，且直线AP，BP与椭圆C的另一交点分别为M，N．（1）求椭圆C的方程；
（2）试研究直线MN与AB的位置关系，并证明你的结论．
分析 （1）由于点P的坐标为（2，1），$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{OP}$，可得$\overrightarrow{OQ}$=$（\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．代入椭圆方程解得m2即可得出．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4）．设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{BP}$=$μ\overrightarrow{NP}$，利用向量坐标运算可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=λ{x}_{3}+2-2λ}\\{{y}_{1}=λ{y}_{3}+1-λ}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=μ{x}_{4}+2-2λ}\\{{y}_{2}=μ{y}_{4}+1-λ}\end{array}\right.$．由于点A，M在椭圆上，代入椭圆化简可得：$\frac{（2-2λ）（2λ{x}_{3}+2-2λ）}{4}$+$\frac{（1-λ）（2λ{y}_{3}+1-λ）}{3}$=1-λ2，λ≠1，化为λx3+$\frac{2λ{y}_{3}}{3}$=2λ，同理可得：μx4+$\frac{2μ{y}_{4}}{3}$=2μ．由于点A，B在椭圆上，可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}$=1，相减利用中点坐标公式可得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{2}$．因此y1-y2=$-\frac{3}{2}$（x1-x2），代入化简可得：λy3-μy4=-$\frac{3}{2}$（λx3-μx4），又③-④可得：λx3-μx4+$\frac{2}{3}（λ{y}_{3}-μ{y}_{4}）$=2（λ-μ），可得λ=μ，即可得出位置关系．
解答 解：（1）∵点P的坐标为（2，1），$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{OP}$，
∴$\overrightarrow{OQ}$=$（\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
代入椭圆方程可得：$\frac{3}{4{m}^{2}}$+$\frac{3}{3×4{m}^{2}}$=1，解得m2=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）直线OP的方程为：y=$\frac{1}{2}$x．
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4）．设$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{BP}$=$μ\overrightarrow{NP}$，
则（2-x1，1-y1）=λ（2-x3，1-y3），（2-x2，1-y2）=μ（2-x4，1-y4），
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=λ{x}_{3}+2-2λ}\\{{y}_{1}=λ{y}_{3}+1-λ}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=μ{x}_{4}+2-2λ}\\{{y}_{2}=μ{y}_{4}+1-λ}\end{array}\right.$，
∵点A，M在椭圆上，则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，$\frac{{x}_{3}^{2}}{4}+\frac{{y}_{3}^{2}}{3}$=1，
从而：$\frac{（λ{x}_{3}+2-2λ）^{2}}{4}$+$\frac{（λ{y}_{3}+1-λ）^{2}}{3}$=1，①
$\frac{{λ}^{2}{x}_{3}^{2}}{4}+\frac{{λ}^{2}{y}_{3}^{2}}{3}$=λ2，②
①-②得：$\frac{（2-2λ）（2λ{x}_{3}+2-2λ）}{4}$+$\frac{（1-λ）（2λ{y}_{3}+1-λ）}{3}$=1-λ2，
λ≠1，化为：λx3+1-λ+$\frac{2λ{y}_{3}+1-λ}{3}$=1+λ，即λx3+$\frac{2λ{y}_{3}}{3}$=2λ，③
同理可得：μx4+$\frac{2μ{y}_{4}}{3}$=2μ，④
∵点A，B在椭圆上，∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}$=1，
相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{3}$=0，
∵中点D$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）$在直线OP：y=$\frac{1}{2}x$上，则x1+x2=2（y1+y2），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$×2=-$\frac{3}{2}$．
则y1-y2=$-\frac{3}{2}$（x1-x2），即λy3+1-λ-（λy4+1-λ）=$-\frac{3}{2}$（λx3+2-2λ-μx4-2+2λ），
化为：λy3-μy4=-$\frac{3}{2}$（λx3-μx4），⑦
又③-④可得：λx3-μx4+$\frac{2}{3}（λ{y}_{3}-μ{y}_{4}）$=2（λ-μ），
由⑦可得：λx3-μx4+$\frac{2}{3}•（-\frac{3}{2}）（λ{x}_{3}-μ{x}_{4}）$=0=2（λ-μ），
故λ=μ，从而：$\frac{AP}{MP}$=$\frac{BP}{NP}$，
可得MN∥AB．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相减问题、向量的坐标运算性质、中点坐标公式，直线平行的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | -$\frac{3}{2}$≤M≤$\frac{1}{2}$ | B． | M＜-$\frac{3}{2}$ | C． | M＞$\frac{1}{2}$ | D． | -3≤M≤1 |
| A． | 2 | B． | 4 | C． | 8 | D． | 12 |
| A． | 1 | B． | 0 | C． | -1 | D． | -2 |