Question

4．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右焦点做互相垂直的两直线与椭圆分别交于AB，CD．
（1）求证$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$为定值；
（2）求四边形ACBD面积的最值．

Answer 1

分析 通过分直线AB、CD中有一个斜率不存在与均存在两种情况讨论．当直线AB、CD中有一个斜率不存在时，通过计算可知|AB|=1、|CD|=4，进而可得结论；当直线AB、CD斜率均存在时，设直线AB方程为：y=k（x-$\sqrt{3}$），则直线CD方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x-$\sqrt{3}$），通过联立直线与椭圆方程、利用韦达定理、两点间距离公式计算可知|AB|
=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$、|CD|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：依题意，椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右焦点F（$\sqrt{3}$，0），
①当直线AB、CD中有一个斜率不存在时，
不妨设直线AB方程为：x=$\sqrt{3}$，则直线CD方程为：y=0，
易知|AB|=1，|CD|=4，
∴$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{5}{4}$；
②当直线AB、CD斜率均存在时，
设直线AB方程为：y=k（x-$\sqrt{3}$），则直线CD方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x-$\sqrt{3}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\sqrt{3}k}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+4k²）x²-$8\sqrt{3}{k}^{2}x$+12k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）}^{2}-4•\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$
=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，
同理可得|CD|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{1+4{k}^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$+$\frac{4+{k}^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$=$\frac{5}{4}$；
综上所述，$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{5}{4}$；
（2）解：由（1）可知①当直线AB、CD中有一个斜率不存在时，
此时S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}•$2a•$\frac{2{b}^{2}}{a}$
=2b²
=2；
②当直线AB、CD斜率均存在时，
|AB|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，|CD|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|
=$\frac{1}{2}•$$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$
=$\frac{8（1+{k}^{2}）^{2}}{4{k}^{4}+17{k}^{2}+4}$
=$\frac{8}{-9（\frac{1}{1+{k}^{2}}{-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{25}{4}}$，
当且仅当$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$即k²=1时，S_{四边形ABCD}取最小值$\frac{32}{25}$，
综上所述，四边形ACBD面积的最小值为$\frac{32}{25}$、最大值为2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、四边形面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，注意解题方法的积累，属于难题．