Question

19．F₁，F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，直线l：y=2x+5与椭圆C交于P₁，P₂，已知椭圆中心O关于直线l的对称点恰好落在椭圆C的左准线上，且|P₂F₂|-|P₁F₁|=$\frac{10}{9}$a，则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 求出椭圆C的中心关于直线l的对称点的坐标，即可求椭圆C的左准线方程，得到$-\frac{{a}^{2}}{c}$=-4，再把y=2x+5代入椭圆方程，利用韦达定理，结合|P₂F₂|-|P₁F₁|=$\frac{10}{9}$a，求出a，b，c的另一等式，再结合隐含条件即可求椭圆C的方程．

解答 解：设对称点为（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}•2=-1}\\{\frac{y}{2}=2•\frac{x}{2}+5}\end{array}\right.$，
∴x=-4，y=2，
∴椭圆C的左准线方程为x=-4，
∴椭圆C的左准线方程为x=-4，即-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-4，①
联立直线l与椭圆方程，得：（4a²+b²）x²+20a²x+25a²-a²b²=0，
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{20{a}^{2}}{4{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由焦半径公式可得：|P₂F₂|=a-ex₂，|P₁F₁|=a+ex₁，
∴|P₂F₂|-|P₁F₁|=a-ex₂-a-ex₁
=-e（x₁+x₂）
=-$\frac{c}{a}$•（-$\frac{20{a}^{2}}{4{a}^{2}+{b}^{2}}$）
=$\frac{10}{9}$a，②
又∵a²=b²+c²，③
联立①②③解得：a²=8，b²=4，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查等差数列的性质，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．