Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（a+2）x+2lnx（a∈R）．
（1）若a=0，证明：f（x）＜0；
（2）讨论函数f（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）将a=0代入函数的表达式，求出f′（x），解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到最大值是f（1）＜0即可；
（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间，得到函数的极值，进而求出函数的零点的个数．

解答 解：（1）a=0时：f（x）=-2x+2lnx，（x＞0），
f′（x）=-2+$\frac{2}{x}$=$\frac{2（1-x）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_最大值=f（1）=-2+2ln1=-2＜0，
∴a=0时，f（x）＜0；
（2）f′（x）=$\frac{2}{x}$+ax-（a+2）=$\frac{（ax-2）（x-1）}{x}$，（x＞0），
①a≤0时，ax-2＜0
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
若a＜-4，f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$-2＞0，函数f（x）有2个零点，
若a=-4，f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$-2，=0，函数f（x）有1个零点，
若-4＜a≤0，f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$-2＜0，函数f（x）没有零点，
②0＜a＜2时，$\frac{2}{a}$＞1，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{a}$，或0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{2}{a}$，
∴f（x）在（0，1），（$\frac{2}{a}$，+∞）递增，在（1，$\frac{2}{a}$）递减；
∴f（x）_极大值=f（1）=-$\frac{1}{2}$a-2＜0，
∴f（x）有1个零点；
③a≥2时，$\frac{2}{a}$＜1，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，或0＜x＜$\frac{2}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{2}{a}$＜x＜1，
∴f（x）在（0，$\frac{2}{a}$），（1，+∞）递增，在（$\frac{2}{a}$，1）递减；
∴f（x）_极大值=f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{2（a+1）}{a}$+2ln$\frac{2}{a}$＜0，
∴f（x）有1个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、零点问题，考查导数的应用，是一道中档题．