Question

1．已知m＞0，给出下列两个命题：命题p：函数f（x）=lg（x²+m）存在零点；命题q：?x∈R，不等式x+|x-2m|＞1恒成立．若p∧q是假命题，p∨q是真命题，则m的取值范围为$0＜m≤\frac{1}{2}$，或m＞1．

Answer 1

分析 命题p：函数f（x）=lg（x²+m）存在零点，则x²+m≤1，即可解得m范围；命题q：不等式x+|x-2m|＞1化为：|x-2m|＞1-x，根据?x∈R，不等式x+|x-2m|＞1恒成立，可得1＜2m．若p∧q是假命题，p∨q是真命题，则p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：m＞0，给出下列两个命题：命题p：函数f（x）=lg（x²+m）存在零点，则x²+m≤1，∴1-m≥x²，解得0＜m≤1；
命题q：不等式x+|x-2m|＞1化为：|x-2m|＞1-x，∵?x∈R，不等式x+|x-2m|＞1恒成立，∴1＜2m，解得$m＞\frac{1}{2}$．
若p∧q是假命题，p∨q是真命题，
则p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜m≤1}\\{0＜m≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$0＜m≤\frac{1}{2}$，或m＞1．
则m的取值范围为$0＜m≤\frac{1}{2}$，或m＞1．
故答案为：$0＜m≤\frac{1}{2}$，或m＞1．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．