Question

已知f(x)=

e-x (x≤0) x (x＞0)

，g(x)=f(x)-

1

2

x-b有且仅有一个零点时，则b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=

1

2

x+b只有一个交点，分类讨论、数形结合求得b的范围．

解答： 解：由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=

1

2

x+b
只有一个交点，如图所示：
当直线经过点A（0，1）时，b=1；
当直线和y=

x

（x＞0）相切时，设切点B（x₀，

x0

），
由

1

2

=

x0 -b

x0-0

=

1

2 x0

，求得 x₀=1，b=

1

2

．
当直线过原点（0，0）时，b=0．
综上可得，b≥1或b=

1

2

或b≤0，
故答案为：b≥1或b=

1

2

或b≤0．

点评：本题主要考查方程根的存在性及个数判断，导数的几何意义、斜率公式的应用，体现了分类讨论、数形结合、转化的数学思想，属于中档题．