某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足:P{{(x-b)}{\;}^2}}}$(其中t为关税的税率.且t∈[0.$\frac{1}{2}}$].x为市场价格.b.k为正常数).当t=$\frac{1}{8}$时.市场供应量曲线如图所示:(1)根据函数图象求k.b的值,(2)若市场需求量Q.它近似满足Q(x)=2${\;}^{}}$．当P=Q时的市场� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

17．

某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2${\;}^{（1-kt）{{（x-b）}{\;}^2}}}$（其中t为关税的税率，且t∈[0，$\frac{1}{2}}$]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=$\frac{1}{8}$时，市场供应量曲线如图所示：
（1）根据函数图象求k，b的值；
（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2${\;}^{（11-\frac{1}{2}x）}}$．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．

分析（1）能根据图象知$t=\frac{1}{8}$时，有$\left\{\begin{array}{l}{2^{（1-\frac{k}{8}）{{（5-b）}^2}}}=1\\{2^{（1-\frac{k}{8}）{{（7-b）}^2}}}=2\end{array}\right.$，即可求出k、b的值；
（2）能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．

解答解：（1）由图可知$t=\frac{1}{8}$时，有$\left\{\begin{array}{l}{2^{（1-\frac{k}{8}）{{（5-b）}^2}}}=1\\{2^{（1-\frac{k}{8}）{{（7-b）}^2}}}=2\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=6\\ b=5.\end{array}\right.$
（2）当P=Q时，得${2^{（1-6t）{{（x-5）}^2}}}={2^{11-\frac{1}{2}x}}$，
解得$t=\frac{1}{6}[{1-\frac{22-x}{{2{{（x-5）}^2}}}}]=-\frac{1}{12}[{\frac{17}{{{{（x-5）}^2}}}-\frac{1}{x-5}-2}]$．
令$m=\frac{1}{x-5}$，∵x≥9，∴$m∈（0，\frac{1}{4}]$，
在$t=-\frac{1}{12}（17{m^2}-m-2）$中，对称轴为直线$m=\frac{1}{34}$，$\frac{1}{34}∈（0，\frac{1}{4}]$，且图象开口向下，
∴$m=\frac{1}{4}$时，t取得最小值$\frac{19}{192}$，此时x=9．

点评此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！

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