Question

4．若2sin²x-5sin²y=1，求cos²x+siny的取值范围$[-\frac{\sqrt{5}}{5}，\frac{3}{5}]$．

Answer 1

分析 2sin²x-5sin²y=1，可得：cos²x=$\frac{1-5si{n}^{2}y}{2}$≥0，解得$-\frac{\sqrt{5}}{5}$≤siny≤$\frac{\sqrt{5}}{5}$．cos²x+siny=$-\frac{5}{2}$$（siny-\frac{1}{5}）^{2}$+$\frac{3}{5}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵2sin²x-5sin²y=1，
∴2（1-cos²x）-5sin²y=1，
解得cos²x=$\frac{1-5si{n}^{2}y}{2}$≥0，解得0≤sin²y$≤\frac{1}{5}$，∴$-\frac{\sqrt{5}}{5}$≤siny≤$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴cos²x+siny
=$\frac{1-5si{n}^{2}y}{2}$+siny
=$-\frac{5}{2}$$（siny-\frac{1}{5}）^{2}$+$\frac{3}{5}$，
∵$-\frac{\sqrt{5}}{5}$≤siny≤$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
当siny=$\frac{1}{5}$时，cos²x+siny取得最大值$\frac{3}{5}$．
当siny=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，cos²x+siny取得最小值$-\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴cos²x+siny∈$[-\frac{\sqrt{5}}{5}，\frac{3}{5}]$，
故答案为：$[-\frac{\sqrt{5}}{5}，\frac{3}{5}]$．

点评 本题考查了三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．