Question

已知函数f（x）=

(sinx+cosx)sin2x

sinx

（x≠kπ，k∈z）．
（1）求函数f（x）的最大值、最小值及最小正周期；
（2）求函数f（x）在（

π

2

，π）上的单调递减区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的化简求值,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，由此可得函数的最大值、最小值、函数的周期．
（2）由于f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的减区间．再结合x∈（

π

2

，π），进一步确定函数f（x）在（

π

2

，π）上的单调递减区间．

解答： 解：（1）函数f（x）=

(sinx+cosx)sin2x

sinx

=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
故函数的最大值为

2

+1，最小值为-

2

+1，函数的周期为

2π

2

=π．
（2）由于f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
求得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，故函数的减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．
再结合x∈（

π

2

，π），可得函数f（x）在（

π

2

，π）上的单调递减区间为 （

π

2

，

5π

8

]．

点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于基础题．