Question

12．命题p：log₂（6x+12）≥log₂（x²+3x+2）；命题q：4^ax+a＜${2^{{x^2}-2x-3}}$；
（Ⅰ）若p为真命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）若p为真命题是q为真命题的充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若p为真，则${log_2}（6x+12）≥{log_2}（{x^2}+3x+2）$，利用对数函数的单调性得$\left\{\begin{array}{l}6x+12＞0\\{x^2}+3x+2＞0\\ 6x+12≥{x^2}+3x+2\end{array}\right.$解出即可得出．
（Ⅱ）若q为真命题，则4^ax+a＜${2^{{x^2}-2x-3}}$；即2a（x+1）＜（x+1）（x-3），又p为真命题，即-1＜x≤5．可得a$＜\frac{x-3}{2}$．即可得出．

解答 解：（Ⅰ）若p为真，则${log_2}（6x+12）≥{log_2}（{x^2}+3x+2）$，得$\left\{\begin{array}{l}6x+12＞0\\{x^2}+3x+2＞0\\ 6x+12≥{x^2}+3x+2\end{array}\right.$
即  $\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3x+2＞0\\ 6x+12≥{x^2}+3x+2\end{array}\right.$，解得：-1＜x≤5．
（Ⅱ）若q为真命题，则4^ax+a＜${2^{{x^2}-2x-3}}$；
即2a（x+1）＜（x+1）（x-3），
又p为真命题，即-1＜x≤5．
∴x+1＞0，故a$＜\frac{x-3}{2}$．
依题意得，$当-1＜x≤5时，a＜\frac{x-3}{2}恒成立$，
$又∵\frac{x-3}{2}∈（-2，1]$，
∴a≤-2

点评 本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．